椭圆界面最优控制问题的优化算法

　　摘 要：该文针对带界面的椭圆最优控制问题，先采用拉格朗日方法推导出该最优控制问题的最优性条件，然后运用浸入有限元和变分离散相结合的方法得到离散的最优性条件并给出离散最优性条件的两种优化算法。对控制无约束的情况，离散系统是对称非正定的方程组，采用块对角预处理MINRES算法求解。对控制带约束的情形，采用不动点迭代算法求解非线性非光滑的算子方程。最后给出数值例子说明方法的有效性.

　　关键词：椭圆最优控制 浸入有限元 不动点迭代 变分离散

　　偏微分方程的最優控制问题是一个非常活跃的研究分支，在实际工程领域有着广泛的应用，例如飞机的最优型设计、大气污染控制、大型柔性结构的波动控制等许多方面都需要借助最优控制模型来分析和解决实际问题。这类问题实际上是控制变量受约束的无穷维最优控制问题。其精确解很难通过解析的方式求出来，因此研究其数值近似求解方法显得尤为重要. 这类问题的难点是最优控制问题中的控制变量受到偏微分方程的约束， 数值求解需要结合偏微分方程的离散方法和优化算法。目前数值求解最优控制问题的思路有两种：一种是先优化后离散，另外一种是先离散后优化，该文采用的是后者。

　　对椭圆型最优控制问题的研究，已经涌现出了许多的研究成果[1-3]，与这些成果不同的是，该文考虑了更加复杂的情况，也就是区域带有界面. 由于界面的存在，传统的有限元方法得不到最优精度，因此该文采用浸入有限元方法[4]。针对离散后的最优性条件，该文考虑了两种情况：一种是带约束，一种是不带约束，分别给出了优化的算法。对控制无约束的情况，离散系统是对称非正定的方程组，采用块对角预处理MINRES算法求解。对控制带约束的情形，采用不动点迭代算法求解非线性非光滑的算子方程。数值例子验证了数值优化算法是有效的。

　　1 问题模型和最优性条件

　　考虑最优控制问题。

　　(1)

　　对所有的满足椭圆界面问题

　　-?.(β(x)?y(x))=u(x)Ω/Γ内

　　上

　　弱形式：最优控制问题(P)：

　　满足状态方程的约束以及控制约束。

　　问题(P)存在唯一的最优控制、状态和伴随态满足状态方程：

　　伴随方程：

　　和变分不等式：

　　另外，变分不等式等价于投影方程：这里代表在区间[ua，ub]上的投影。 状态方程、伴随方程和变分不等式共同0组成了问题(P)的最优性条件，即原问题(P)等价于最优性条件。

　　椭圆界面最优控制问题的优化算法

　　接下来进行数值离散，由于界面的存在，为了避免离散精度的损失，采用浸入有限元[5]进行离散，再结合变分离散[6]可得到离散后的最优化问题如下：

　　问题()：对所有受控于(为浸入界面有限元空间[4])，且控制满足约束条件ua≤u≤ub类似于问题(P)，问题()具有唯一最优解：控制，相应的状态 和伴随态分别满足状态方程：

　　伴随方程：

　　和变分不等式：

　　且变分不等式等价于投影方程. 通过转化，要求问题()的解，只需求解上面3个方程，即状态方程、伴随方程和投影方程。

　　2 優化算法

　　在这一节，我们给出求解有限维最优控制问题()最优解的优化算法实现细节。

　　在控制无约束情况，投影方程变成，它的向量形式是。因此，我们得到下面的大型线性方程组：

　　这个方程组是对称但是非定的， 因此我们用MINRES方法求解它。为了得到较好的收敛性， 我们先采用了一个块对角的预处理子[7]， 即：

　　在的情况(带控制约束的情况)， 问题()的最优性条件可以写成关于控制的非光滑算子方程然后采用不动点迭代算法求解这个非光滑且非线性方程。

　　算法步骤如下。

　　(1)给定初始值

　　(2)通过求解， 得到。

　　(3)通过求解得， 到。

　　(4)通过投影方程得到， 其中。

　　(5)如果|u0-u1|≤1.0×10-6，那么令， 否则u0=u1令并重复步骤2。

　　在步骤2，经过若干次迭代后不再属于原空间，因此方程作为右端项是不再有效的。有些单元被控制可行集的边界切割成多个小的单元，函数在这些单元上是分片线性的。为了计算右端项的积分， 我们把单元按照可行集边界分割成多个子单元，然后在子单元上分别进行数值积分。上面算法在α足够大的时候是收敛的。

　　3 数值算例

　　算例1。考虑界面是是以原点为中心半径的圆，在这个例子中， 我们选择，和。在这个例子中我们构造了精确的最优解。数值解误差估计的结果如下图所示，从图1可以看出该文的离散方法和优化方法得到的误差(实线)比用传统有限元误差(虚线)收敛要快。本文的优化数值方法是有效的。

　　算例2。把算法应用到一个复杂的五角星界面问题上， 这个例子是复合材料上稳态热传导过程的优化问题上， 间断系数代表不同介质材料的导热系数函数 代表外部的热源。我们需要优化的问题就是寻找合适的热源来控制复合材料的温度使得复合材料上处处都能达到同样的理想温度。如果没有界面， 解看起来像一个梯形棱柱， 它的底部满足偏微分方程的齐次边界条件。当时， 状态的解在界面外趋于平缓， 这是因为， 反之亦然。解的数值模拟如图2所示。

　　参考文献

　　[1] Solaymani Fard O， Borzabadi A H， Sarani F. An adaptive semismooth Newton method for approximately solving control-constrained elliptic optimal control problems[J].Transactions of the Institute of Measurement & Control，2019，41(11)： 3010-3020.

　　[2] Xu Y， Chen X. Optimized Schwarz Methods for the Optimal Control of Systems Governed by Elliptic Partial Differential Equations[J].Journal of entific Computing，2019，79(2)：1182-1213.

　　[3] 苏梦雅.椭圆偏微分方程分布与Neumann边界控制约束问题的有限体积元方法[D].南京师范大学， 2019.

　　[4] 张倩.几类PDE约束最优控制问题的数值方法研究[D].南京师范大学，2016.

　　[5] Guo R， Lin T. An immersed finite element method for elliptic interface problems in three dimensions[J]. Journal of Computational Physics， 2020(414)：109478.

　　[6] Tang Y， Hua Y. Convergence and superconvergence of variational discretization for parabolic bilinear optimization problems[J]. Journal of Inequalities and Applications，2019(1)：1-13.

　　[7] Salahuddin S. On Convergence Rate of a Splitting Operator Method for Variational Inclusions[J]. Advances in Nonlinear Variational Inequalities， 2018，21(1)：30-39.[1] 2

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文章名称： 椭圆界面最优控制问题的优化算法

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